Question

函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域、單調區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型公式求出函數(shù)的最小正周期．
（2）利用整體思想求出函數(shù)的值域和單調區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=

1

2

sin2x+

3

•

cos2x+1

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

所以函數(shù)f（x）的正周期為：T=

2π

2

=π．
（2）①x∈R
所以：-1≤sin(2x+

π

3

)≤1．
則：

3

2

-1≤f(x)≤1+

3

2

②令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ
所以函數(shù)的單調增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
令：

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ
所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為：[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的公式的應用，正弦型函數(shù)單調性的應用．