Question

已知f（x）是定義在[1，+∞]上的函數(shù)，且f（x）=

1-|2x-3|，1≤x＜2 1 2 f( 1 2 x)，x≥2

，則函數(shù)y=2xf（x）-3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令函數(shù)y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=

3

2x

，從而化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而解得．

解答： 解：令函數(shù)y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=

3

2x

，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）先增后減，在x=

3

2

時(shí)取得最大值1，
而y=

3

2x

在x=

3

2

時(shí)也有y=1；
當(dāng)x∈[2，2²）時(shí)，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=3處函數(shù)f（x）取得最大值

1

2

，
而y=

3

2x

在x=3時(shí)也有y=

1

2

；
當(dāng)x∈[2²，2³）時(shí)，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=6處函數(shù)f（x）取得最大值

1

4

，
而y=

3

2x

在x=6時(shí)也有y=

1

4

；
…，
當(dāng)x∈[2¹⁰，2¹¹）時(shí)，f（x）=

1

2

f（

1

2

x），在x=1536處函數(shù)f（x）取得最大值

1

210

，
而y=

3

2x

在x=1536時(shí)也有y=

1

210

；
綜合以上分析，將區(qū)間（1，2015）分成11段，每段恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有11個(gè)交點(diǎn)，即有11個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：11．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．