Question

6．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均大于1，前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=a_n²+n-1．
（1）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（1-a_n）•2${\;}^{{a}_{n}-1}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）n=1時(shí)，a₁=2，n≥2時(shí)，$2{S_n}=a_n^2+n-1$，$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+n-2$，兩式相減得：$2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+1$，由（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，可知：a_n-a_n-1-1=0，{a_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）及${b_n}=（1-{a_n}）•{2^{{a_n}-1}}$，得${b_n}=-n•{2^n}$，利用“錯(cuò)位相減法”求得S_n，要使${S_n}+n•{2^{n+1}}＞50$成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹≥52，n≥5，即可求得正整數(shù)n的最小值．

解答 解：（1）n=1時(shí)，$2{S_1}=a_1^2$，
∵a₁＞1，
∴a₁=2…（1分）
n≥2時(shí)，$2{S_n}=a_n^2+n-1$①，
$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+n-2$②
兩式相減得$2{S_n}-2{S_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+1$，即$2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+1$…（3分）
整理得${（{a_n}-1）^2}=a_{n-1}^2$，即（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，
∵a_n＞1，
∴a_n+a_n-1-1≠0
故a_n-a_n-1-1=0（n≥2），…（4分）
∴{a_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1…（5分）
（2）由（1）及${b_n}=（1-{a_n}）•{2^{{a_n}-1}}$，得${b_n}=-n•{2^n}$，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴${S_n}=-2-2•{2^2}-3•{2^3}-4•{2^4}-…-n•{2^n}$，…①
∴$2{S_n}=-{2^2}-2•{2^3}-3•{2^4}-4•{2^5}-…-（n-1）•{2^n}-n•{2^{n+1}}$…②
①-②得，${S_n}=2+{2^2}+{2^3}+{2^4}+{2^5}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
要使${S_n}+n•{2^{n+1}}＞50$成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹≥52，n≥5．
∴使${S_n}+n•{2^{n+1}}＞50$成立的正整數(shù)n的最小值為5．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的遞推公式，考查利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．