Question

7．給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（$\frac{5}{2}$π-x）是偶函數(shù)；
②方程lgx=sinx有兩個(gè)不等的實(shí)根；
③點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是的一個(gè)對(duì)稱中心
④設(shè)A、B、C∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于-$\frac{π}{3}$；
以上命題中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
②先把方程sinx=lgx實(shí)根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lgx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出圖象，由圖象即可得出結(jié)論
③根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
④利用三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：①函數(shù)y=sin（$\frac{5}{2}$π-x）=cosx是偶函數(shù)；故①正確，
②∵方程sinx=lgx實(shí)根個(gè)數(shù)，就是函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lgx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
∴作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
∵sinx≤1，且x=10時(shí)，y=lgx=1

x＞10時(shí)，y=lgx＞1．
如圖得：交點(diǎn)有3個(gè)．
故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（$\frac{π}{3}$）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sinπ=0，點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是的一個(gè)對(duì)稱中心，故③正確，
④：∵sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，
∴sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
又sin²C+cos²C=1，
∴（sinA-sinB）²+（cosB-cosA）²=1，
即sin²A-2sinAsinB+sin²B+cos²B-2cosAcosB+cos²A=1，
整理得：cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{1}{2}$，
在A，B，C∈（0，）內(nèi)，sinA＞0，sinB＞0，sinC＞0，由題中條件得sinA-sinB=sinC＞0，
又由正弦函數(shù)增減性得A＞B，所以A-B＞0，又A，B，C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜A-B＜$\frac{π}{2}$，
則A-B=$\frac{π}{3}$，即B-A=-$\frac{π}{3}$．故④正確，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．