Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，求$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)．
（2）若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），且點(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上，試求m-n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)為（x，y），運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，解方程可得x，y；
（2）求得向量AB，AC的坐標(biāo)，可得P的坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式，即可得到m-n的值．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)為（x，y），
由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=（0，0），
即有x=$\frac{1+2+3}{3}$=2，y=$\frac{1+3+2}{3}$=2，
可得$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)為（2，2）；
（2）點(diǎn)A（1，1），B（2，3），C（3，2），可得
$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1），
設(shè)$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
可得x₀=m+2n，y₀=2m+n，
點(diǎn)P在函數(shù)y=x+1的圖象上，可得y₀=x₀+1，
即為2m+n=m+2n+1，
可得m-n=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，注意運(yùn)用點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．