Question

2．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，AF₁=3BF₁．
（Ⅰ）若AB=4，△ABF₂的周長為16，求AF₂；
（Ⅱ）若cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，求橢圓E的離心率．

Answer 1

分析 （I）由AF₁=3BF₁，AB=4，可得AF₁=3，由于△ABF₂的周長為16，可得：AB+BF₂+AF₂=4a=16，解得a．又AF₁+AF₂=2a，即可得出．
（II）設(shè)|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k，在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，解得k，進(jìn)而得出．

解答 解：（I）∵AF₁=3BF₁，AB=4，∴AF₁=3，BF₁=1，
∵△ABF₂的周長為16，∴AB+BF₂+AF₂=4a=16，解得a=4．
又AF₁+AF₂=2×4，
∴AF₂=5．
（II）設(shè)|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-$\frac{6}{5}$（2a-3k）（2a-k），
化簡可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．