Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱線長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F，且EF=$\frac{1}{2}$，給出下列命題：
①AC⊥BE   
②EF∥平面ABCD
③△AEF的面積與△BEF的面積相等
④三棱錐A-BEF的體積為定值
⑤異面直線AE，BF所成角不變
其中正確命題的序號是①②④（寫出你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

分析 通過證明線面垂直，可證AC⊥BE，故①正確；
根據線面平行的判斷定理，可證EF∥平面ABCD，故②正確；
△BEF與△AEF底都是EF，但高不相等，所以面積不相等，故③錯誤；
根據三棱錐的底面面積與EF的位置無關，高也與EF的位置無關，所以體積為定值，故④正確；
例舉兩個特殊位置的異面直線所成的角的大小，根據大小不同可知⑤錯誤．

解答 解：對于①：∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，∴AC⊥面BB₁D₁D，∵BE?面BB₁D₁D，∴AC⊥BE，故①正確；
對于②：∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故②正確；
對于③：連結A₁C₁，交B₁D₁于點O₁，連結AO₁，則AO₁⊥EF，∵${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}EF•A{O}_{1}$，${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}EF•B{B}_{1}$，且AO₁≠BB₁，∴△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故③錯誤；
對于④：連結BD，交AC于點O，∵AC⊥面BB₁D₁D，∴AO⊥面BEF，即AO是三棱錐A-BEF的高，∴${V}_{A-BEF}=\frac{1}{3}AO•{S}_{△BEF}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，故④正確；
對于⑤：設異面直線所成的角為α，當E與D₁重合時，sinα=$\frac{1}{2}$，α=30°；當F與B₁重合時tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以異面直線AE、BF所成的角不是定值，故⑤錯誤．
故答案為：①②④

點評 本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了線面垂直、面面平行的性質，考查了學生的空間想象能力及作圖分析能力．