Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=n²+n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次為等比數(shù)列{b_n}的第一、第二、第三項(xiàng)，求數(shù)列{$\frac{n}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（Ⅱ）由題知：a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次為等比數(shù)列{b_n}的第一、第二、第三項(xiàng)，可得${a}_{2k}^{2}$=a_k+1•a_2k+3（k∈N^*），解得k=3．可得b_n=$8×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，$\frac{n}{_{n}}$=$\frac{1}{8}n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，再利用“錯(cuò)位相減法”與求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
檢驗(yàn)n=1時(shí)，上式符合．
∴a_n=2n．．
（Ⅱ）由題知：a_k+1，a_2k，a_2k+3（k∈N^*）恰好依次為等比數(shù)列{b_n}的第一、第二、第三項(xiàng)，
∴${a}_{2k}^{2}$=a_k+1•a_2k+3（k∈N^*），
即（2×2k）²=2（k+1）•2（2k+3），解得k=3．
∴b₁=a₄=8，b₂=a₆=12，公比q=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$．
∴b_n=$8×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{n}{_{n}}$=$\frac{1}{8}n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{8}$$[1+2×\frac{2}{3}$+$3×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$n×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$．
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}+n×（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[1+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}]$-$\frac{1}{8}n（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{3+n}{8}$×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
T_n=$\frac{9}{8}$-$\frac{9+3n}{8}$×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．