13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=n2+n.
(Ⅰ)求{an}的通項公式an;
(Ⅱ)若ak+1,a2k,a2k+3(k∈N*)恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項,求數(shù)列{$\frac{n}{_{n}}$}的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)當n=1時,a1=S1=2.當n≥2時,an=Sn-Sn-1,即可得出.
(Ⅱ)由題知:ak+1,a2k,a2k+3(k∈N*)恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項,可得${a}_{2k}^{2}$=ak+1•a2k+3(k∈N*),解得k=3.可得bn=$8×(\frac{3}{2})^{n-1}$,$\frac{n}{_{n}}$=$\frac{1}{8}n×(\frac{2}{3})^{n-1}$,再利用“錯位相減法”與求和公式即可得出.

解答 解:(Ⅰ)當n=1時,a1=S1=2.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n.
檢驗n=1時,上式符合.
∴an=2n..
(Ⅱ)由題知:ak+1,a2k,a2k+3(k∈N*)恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項,
∴${a}_{2k}^{2}$=ak+1•a2k+3(k∈N*),
即(2×2k)2=2(k+1)•2(2k+3),解得k=3.
∴b1=a4=8,b2=a6=12,公比q=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$.
∴bn=$8×(\frac{3}{2})^{n-1}$,
∴$\frac{n}{_{n}}$=$\frac{1}{8}n×(\frac{2}{3})^{n-1}$,
∴Tn=$\frac{1}{8}$$[1+2×\frac{2}{3}$+$3×(\frac{2}{3})^{2}$+…+$n×(\frac{2}{3})^{n-1}]$.
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[\frac{2}{3}+2×(\frac{2}{3})^{2}$+…+$(n-1)×(\frac{2}{3})^{n-1}+n×(\frac{2}{3})^{n}]$,
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{8}$$[1+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3})^{2}$+…+$(\frac{2}{3})^{n-1}]$-$\frac{1}{8}n(\frac{2}{3})^{n}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{3+n}{8}$×$(\frac{2}{3})^{n}$,
Tn=$\frac{9}{8}$-$\frac{9+3n}{8}$×$(\frac{2}{3})^{n}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式性質(zhì)與求和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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