Question

4．有兩個命題，p：關于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：利用指數(shù)函數(shù)的單調性可得：0＜a＜1．
對于命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．等價于?x∈R，ax²-x+a＞0．對a分類討論，利用函數(shù)的圖象與性質即可得出．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p真q假，或p假q真，即可得出．

解答 解：p：關于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．等價于?x∈R，ax²-x+a＞0．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．
（i）a=0   不成立．
（ii）a≠0 時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$a＞\frac{1}{2}$，即q：a$＞\frac{1}{2}$．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p真q假，或p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0，或a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．
∴實數(shù)a的取值范圍是$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．