Question

已知在一個極坐標系中點C的極坐標為(2，

π

3

)．
（1）求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程（寫出解題過程）并畫出圖形
（2）在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，點P是圓C上任意一點，Q(5，-

3

)，M是線段PQ的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）如圖，設圓C上任意一點A(ρ，θ)，則∠AOC=θ-

π

3

或

π

3

-θ．由余弦定理得：4+ρ2-4cos(θ-

π

3

)=4，化簡即可得出．
（2）利用圓的方程、中點坐標公式可得點M的參數(shù)方程

x= 6+2cosα 2 y= 2sinα 2

，消去參數(shù)即可得到普通方程．

解答： 解：（1）如圖，設圓C上任意一點A(ρ，θ)，則∠AOC=θ-

π

3

或

π

3

-θ．
由余弦定理得：4+ρ2-4cos(θ-

π

3

)=4，
∴圓C的極坐標方程ρ=4cos(θ-

π

3

)．
（2）在直角坐標系中，點C的坐標為(1，

3

)，可設圓C上任意一點P(1+2cosα，

3

+2sinα)
又令M（x，y）由Q(5，-

3

)，M是線段PQ的中點．
∴M的參數(shù)方程為：

x= 6+2cosα 2 y= 2sinα 2

⇒

x=3+cosα y=sinα

(α為參數(shù))．
∴點M的軌跡的普通方程為：（x-3）²+y²=1．

點評：本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、中點坐標方程、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．