Question

20．設(shè)x∈（0，$\frac{π}{2}$]，則下列命題：（1）x≥sinx；（2）sinx≥xcosx；（3）y=$\frac{sinx}{x}$是單調(diào)減函數(shù)；（4）若sinkx≥ksinx恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是0＜k≤1；其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別對(duì)（1），（2），（3），（4）進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)x∈（0，$\frac{π}{2}$]，則下列命題：
（1）令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）_min＞f（0）=0，故x＞sinx，故x≥sinx；
（2）令f（x）=sinx-xcosx，則f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx＞0，
f（x）遞增，f（x）_min＞f（0）=0，sinx＞xcosx，故sinx≥xcosx；
（3）∵y=$\frac{sinx}{x}$，∴y′=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g′（x）=-sinx＜0，
∴g（x）_max＜g（0）=0，
∴y′＜0
∴y=$\frac{sinx}{x}$是單調(diào)減函數(shù)；
（4）若sinkx≥ksinx恒成立，
而0＜sinkx≤1，0＜sinx≤1
則正數(shù)k的取值范圍是0＜k≤1；
其中真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．