Question

在平面直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程

x=t+1 y=2t

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x=2tan2θ y=2tanθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求直線與曲線C的公共點為直徑的圓的極坐標方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,拋物線的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）消去參數(shù)t，化直線的參數(shù)方程為一般方程，消去參數(shù)θ，化曲線C的參數(shù)方程為普通方程；
（Ⅱ）由題意，直線方程與曲線C的方程聯(lián)立，求出直線與曲線C的交點A、B，寫出以AB為直徑的圓的方程，再化為圓的極坐標方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直線的參數(shù)方程為

x=t+1 y=2t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，
∴直線的直角坐標方程為2x-y-2=0；
∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2tan2θ y=2tanθ

（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)θ，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2x；
（Ⅱ）由題意，

y2=2x 2x-y-2=0

，
解得

x1=2 y1=2

，

x2= 1 2 y2=-1

．
∴直線與曲線C的交點為A(2，2)，B(

1

2

，-1)．
∴以A(2，2)，B(

1

2

，-1)為直徑的圓的方程為：
(x-2)(x-

1

2

)+(y-2)(y+1)=0（也可求出圓的圓心，半徑寫出方程）
化簡得：x2+y2-

5

2

x-y-1=0，
由極坐標系與直角坐標系的互化關系

x=ρcosθ y=ρsinθ

，得：圓的極坐標方程為ρ2-

5

2

ρcosθ-ρsinθ-1=0．

點評：本題考查了直角坐標系與參數(shù)方程、極坐標的互化問題，解題時應熟記公式，認真解答，是中檔題．