Question

2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積是（　�。�

• A． 32π
• B． 20π
• C． 16π
• D． 10π

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖判斷出線面位置關(guān)系，由勾股定理求出幾何體棱長(zhǎng)，由直角三角形性質(zhì)判斷出幾何體的外接球球心位置，求出外接球的半徑，由球的表面積公式求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是三棱錐P-ABC，
直觀圖如圖所示：E是PC的中點(diǎn)，
PA⊥平面ABC，AC=PA=4，AD=1、CD=3，BD⊥AC，BD=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2、BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
同理可得，PB=$2\sqrt{5}$、PC=$4\sqrt{2}$，
∴PB²+BC²=PC²，則PB⊥BC，
∵E是PC的中點(diǎn)，PA⊥AC，∴AE=BE=$\frac{1}{2}$PC，
∴點(diǎn)E是這個(gè)幾何體的外接球的球心，且半徑R=$\frac{1}{2}PC=2\sqrt{2}$，
∴這個(gè)幾何體的外接球表面積S=4πR²=32π，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求幾何體的外接球的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體、確定球心的位置是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．