Question

19．在△ABC中，三內角A，B，C滿足2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1．
（I）求角C的值；
（Ⅱ）若AC=3，CB=1，$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{DB}$，求CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角余弦公式的變形、兩角和的余弦公式化簡方程，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C的值；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理求出AB、cosB的值，由向量的關系求出BD的值，在△BCD中由余弦定理求出CD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1，
∴cosA+cosBcosC-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
又A+B+C=π，則cosA=-cos（B+C），代入上式得，
-cosBcosC+sinBsinC+cosBcosC-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
∴sinBsinC-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
由sinB≠0得，sinC-$\sqrt{3}$cosC=0，則tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）在△ABC中，AC=3，CB=1，C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC
=9+1-2×$3×1×\frac{1}{2}$=7，則AB=$\sqrt{7}$，
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AB•BC}$=$\frac{7+1-9}{2×\sqrt{7}×1}$=$-\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{DB}$，∴AD=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，BD=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
在△BCD中，由余弦定理得，
CD²=BC²+BD²-2•BC•BD•cosB
=1+$\frac{7}{16}$-2×1×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×（$-\frac{1}{2\sqrt{7}}$）=$\frac{3}{2}$，
則CD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了二倍角余弦公式的變形、兩角和的余弦公式，以及余弦定理的應用，考查化簡、計算能力．