Question

19．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，P、Q分別是AB、AC上的點(diǎn)，PQ∥BC，將△ABC沿PQ折起，使平面APQ⊥平面BPQC，設(shè)折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為d，則d的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 設(shè)正三角形ABC的BC邊上的高為AD，AD與PQ交于E，則d=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}+D{B}^{2}}$，由此能利用均值定理能求出d的最小值．

解答 解：設(shè)正三角形ABC的BC邊上的高為AD，AD與PQ交于E，
折疊后，A-E-D-B形成折線，
折線的三段AE、ED、DB兩兩垂直，
∵AE+ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，BD=2，
∴由均值不等式得當(dāng)AE=ED=$\sqrt{3}$時(shí)，AE²+ED²取最小值6，
根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的距離計(jì)算公式知：
d=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}+D{B}^{2}}$≥$\sqrt{6+4}$=$\sqrt{10}$．
∴d的最小值為$\sqrt{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理靈活運(yùn)用和空間思維能力的培養(yǎng)．