4.已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足$a(cosB+\sqrt{3}sinB)=b+c$.
(1)求A的值;
(2)若$b+c=7,a=\sqrt{7}$,求△ABC的面積.

分析 (1)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得$2sin(A-\frac{π}{6})=1,即sin(A-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,結(jié)合A的范圍,即可得解A的值.
(2)由余弦定理可求bc=14,利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)因為:$a(cosB+\sqrt{3}sinB)=b+c$,
由正弦定理得:$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sinC$,
所以:$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sin(A+B)$,
可得:$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB$,
可得:$\sqrt{3}sinA-cosA=1$,$2sin(A-\frac{π}{6})=1,即sin(A-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$.
所以:$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$,可得$A=\frac{π}{3}$.(6分)
(2)由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即:7=b2+c2-bc,
所以:(b+c)2-3bc=7,
所以:bc=14,
所以:${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×14×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$.(12分)

點評 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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