Question

3．已知點(diǎn)P是邊長為2的正三角形ABC的重心，則$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）的值為（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)重心的性質(zhì)以及向量加法的平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義便可得出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，這樣根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}$的值，從而得出$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$的值．

解答 解：如圖，

根據(jù)條件：$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}$
=$\frac{1}{3}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{3}（4+4+4）$
=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形重心的概念及性質(zhì)，向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．