Question

設(shè)m∈R，過定點A的運直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則|PA|•|PB|的最大值是（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應(yīng)用,直線的一般式方程

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先計算出兩條動直線經(jīng)過的定點，即A和B，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|PA|•|PB|的最大值．

解答： 解：由題意可知，動直線x+my=0經(jīng)過定點A（0，0），
動直線mx-y-m+3=0即 m（x-1）-y+3=0，經(jīng)過點定點B（1，3），
注意到動直線x+my=0和動直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|PA|•|PB|≤

|PA|2+|PB|2

2

=5（當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=

5

時取“=”）
故選：B

點評：本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|²+|PB|²是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個靈活的好題．