Question

已知p：實數(shù)x滿足

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

，q：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）
（1）當a=2，x=3時，試判斷命題p∧q的真假
（2）若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=2，x=3，分別求出p，q成立的等價條件，即可得到結論．
（2）若q是p的充分不必要條件，根據(jù)充分條件和必要條件的定義建立不等式關系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2，x=3時，
∵x=3滿足不等式組

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

，∴p是真命題；----------------------------（2分）
∵x=3也滿足x²-8x+12＜0，∴q也是真命題．
∴p∧q是真命題．--------------------------------------（4分）
（2）由

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

得1+

2

＜x≤4，-------------------------------------------（6分）
由x²-4ax+3a²＜0得a＜x＜3a，--------------------------------------（8分）
∵p是q的充分不必要條件，知(1+

2

，4]是（a，3a）的真子集，
∴

a≤1+ 2 3a＞4

，---------------------------------------------------------------（10分）
得

4

3

＜a≤1+

2

-------------------------------------（11分）
∴實數(shù)a的取值范圍為{a|

4

3

＜a≤1+

2

}----------------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查基本邏輯用語，邏輯聯(lián)結詞以及充分必要條件，考查不等式解法及推理論證能力．