Question

4．某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替（如分?jǐn)?shù)段[70，80）用數(shù)值75代替），則得到體育成績(jī)的折線圖（如圖）．

（I）從體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率．
（II）體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生被稱(chēng)為“體育良好”．從高一年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中“體育良好”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）”為事件M，記體育成績(jī)?cè)赱60，70）的學(xué)生為A₁，A₂，體育成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為B₁，B₂，B₃，由此利用列舉法能求出在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率；
（Ⅱ）由折線圖知，樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有30人，X的取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）為事件M，
記體育成績(jī)?cè)赱60，70）的學(xué)生為A₁，A₂，體育成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為B₁，B₂，B₃，
則從這兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果如下：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）共10種，
而事件M所包含的結(jié)果有（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃）共7種，
因此事件M發(fā)生的概率為P（M）=$\frac{7}{10}$；
（II）由折線圖知，樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有30人，
X的取值為0，1，2，3，4，則
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{4}}{{C}_{40}^{4}}$=$\frac{42}{9139}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{3}{C}_{30}^{1}}{{C}_{40}^{4}}$=$\frac{360}{9139}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{30}^{2}}{{C}_{40}^{4}}$=$\frac{3915}{18278}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{30}^{3}}{{C}_{40}^{4}}$=$\frac{4060}{9139}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{30}^{4}}{{C}_{40}^{4}}$=$\frac{1827}{18278}$，
X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{42}{9139}$	$\frac{360}{9139}$	$\frac{3915}{18278}$	$\frac{4060}{9139}$	$\frac{1827}{18278}$

數(shù)學(xué)期望EX=0×$\frac{42}{9139}$+1×$\frac{360}{9139}$+2×$\frac{3915}{18278}$+3×$\frac{4060}{9139}$+4×$\frac{1827}{18278}$=$\frac{20009}{9139}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折線圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題．