Question

13．在三棱錐O-ABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點P、Q分別是線段BC和OA上的動點，且滿足BP≤$\frac{1}{2}$BC，AQ≥$\frac{1}{2}$AO，則PQ和OB所成角的余弦值的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（0，b，1-b），$（\frac{1}{2}≤b≤1）$．Q（a，0，0），$（0≤a≤\frac{1}{2}）$．利用$cos＜\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{a}）^{2}+（\frac{1}-1）^{2}+1}}$，$\frac{a}$∈[0，1]，$\frac{1}$∈[1，2]，即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系
不妨設(shè)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（0，b，1-b），$（\frac{1}{2}≤b≤1）$．Q（a，0，0），$（0≤a≤\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{QP}$=（-a，b，1-b），$\overrightarrow{OB}$=（0，1，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}+（1-b）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{a}）^{2}+（\frac{1}-1）^{2}+1}}$，
∵$\frac{a}$∈[0，1]，$\frac{1}$∈[1，2]，
∴a=0，b=1時，$cos＜\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{OB}＞$=1取得最大值．
a=$\frac{1}{2}$=b時，$cos＜\overrightarrow{QP}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$取得最小值．
∴PQ和OB所成角的余弦值的取值范圍是$[\frac{\sqrt{3}}{3}，1]$．
故選：B．

點評 本題考查了異面直線的夾角、向量夾角公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．