Question

11．已知平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為線段OD的中點，AE的延長線與CD相交于F，若$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，試用$\overrightarrow a、\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AF}$向量．

Answer 1

分析 利用三角形相似得出DF=$\frac{1}{3}$AB，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，即可利用三角形法則得出$\overrightarrow{AF}$．

解答 解：∵△AEB∽△FED，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴DF=$\frac{1}{3}$AB，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，三角形法則，屬于中檔題．