Question

16．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，A，B為橢圓C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k₁，k₂，k．
（1）求橢圓C的方程
（2）當(dāng)k₁k₂-1=k₁+k₂時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率結(jié)合隱含條件可得a²=4b²，再由點(diǎn)（-c，$\frac{1}{2}$）在橢圓上可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+b．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得${b^2}=-\frac{4}{3}{k^2}+\frac{8}{3}k+\frac{4}{3}$，聯(lián)立△＞0與b²≥0求得k的取值范圍．

解答 解：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，又c²=a²-b²，∴a²=4b²，
又過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，
∴將$x=-c，y=\frac{1}{2}$代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，得$\frac{c^2}{{4{b^2}}}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，
即：$\frac{{3{b^2}}}{{4{b^2}}}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，解得b²=1，則a²=4．
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+b．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
則${x_1}+{x_2}=-\frac{8kb}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由k₁+k₂=k₁k₂-1得：$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}-1$，即x₂y₁+x₁y₂=y₁y₂-x₁x₂，
將y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b代入得$（{{k^2}-2k-1}）{x_1}{x_2}+b（k-1）（{{x_1}+{x_2}}）+{b^2}=0$．
∴${b^2}=-\frac{4}{3}{k^2}+\frac{8}{3}k+\frac{4}{3}$，
聯(lián)立△＞0與b²≥0得：$\left\{{\begin{array}{l}{16{k^2}-8k-1＞0}\\{-{k^2}+2k+1≥0}\end{array}}\right.$，解得$1-\sqrt{2}≤k$$＜\frac{1-\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$＜k≤$1+\sqrt{2}$．
∴k的取值范圍為$[{1-\sqrt{2}，\frac{{1-\sqrt{2}}}{4}}）∪（{\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}，1+\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查“設(shè)而不求”的解題思想方法，屬中檔題．