Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點是拋物線y²=4x的焦點，以原點O為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線x+y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于P，Q兩點，且△POQ的面積為定值$\sqrt{3}$，試判斷直線OP與OQ的斜率之積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，可得c值，再由點到直線的距離公式求得a，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離公式求得O到直線l的距離，結(jié)合△POQ的面積為定值$\sqrt{3}$求得k與m的關(guān)系，代入斜率公式可得直線OP與OQ的斜率之積是否為定值．

解答 解：（1）由y²=4x，得p=2，則$\frac{p}{2}=1$，∴c=1，
再由點到直線的距離公式得a=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}=2$，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+mk（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{48（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{3+4{k^2}}}$，
O到直線l的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△POQ}}=\sqrt{3}=\frac{1}{2}|PQ|\;•\;d=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{48（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{3+4{k^2}}}\;•\;\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，可得2m²-4k²=3．
則${k_{OP}}\;•\;{k_{OQ}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{4（{m^2}-3）}}=-\frac{3}{4}$，
∴k_OP•k_OQ為定值$-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點到直線的距離公式及弦長公式的應(yīng)用，屬中檔題．