考點(diǎn):定積分
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:將被積函數(shù)利用定積分的運(yùn)算法則化為兩個(gè)函數(shù)的定積分,然后判斷h(x)=tan
2xln(x+
)為奇函數(shù),則它對(duì)稱區(qū)間的定積分為0,然后對(duì)剩下的部分利用倍角公式化簡.
解答:
解:原式=
tan2xsin22xdx+tan2xln(x+)dx,設(shè)h(x)=tan
2xln(x+
),因?yàn)閔(-x)=tan
2xln(-x+
)=tan
2xln
=-h(x),所以h(x)為奇函數(shù),所以
tan2xln(x+)dx=0,
所以原式=
tan2xsin22xdx=
4sin2xcos2xdx=
4sin4xdx=4
(1-cos2x)2dx=4
(1-)2dx=
(1-cos2x)2dx=
(1-2cos2x+cos22x)dx=
(1-2cos2x+)dx=
(-2cos2x+cos4x)dx=
(x-sin2x+sin4x)=
π.
點(diǎn)評(píng):本題考查了定積分的計(jì)算;用到了:奇函數(shù)對(duì)稱區(qū)間的定積分為0以及定積分是運(yùn)算法則,關(guān)鍵是將被積函數(shù)利用倍角公式降次,使得容易找到被積函數(shù)的原函數(shù).