Question

18．設(shè)α、β均為銳角，則$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值是9．

Answer 1

分析 先把β放縮掉，再用基本不等式，即可求出$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值．

解答 解：$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}αsi{n}^{2}2β}$
≥$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}α}$）
=5+4tan²α+$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$≥5+4=9
當(dāng)且僅當(dāng)sin2β=1，tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值是9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查放縮法的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確放縮是關(guān)鍵．