Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{2{x}^{2}}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0），若對任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的解析式求出其值域，再求出g（x）在x∈[0，1]上的值域，由對任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立得到關(guān)于a的不等式組，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵x∈（$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，f（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{2x（x+4）}{{（x+2）}^{2}}$，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上為增函數(shù)，
∴f（x）∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{3}$]；
當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，∴f（x）∈[0，$\frac{1}{4}$]；
∴在[0，1]上f（x）∈[0，$\frac{2}{3}$]；
又g（x）=acos$\frac{πx}{2}$-2a+5中，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，cos$\frac{πx}{2}$∈[0，1]，
∴g（x）∈[-2a+5，-a+5]；
若對任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{-a+5≥\frac{2}{3}}\\{-2a+5≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}$≤a≤$\frac{13}{3}$，
故答案為：[$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題時(shí)應(yīng)把函數(shù)零點(diǎn)的研究轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的關(guān)系問題來解答．