Question

6．若arcsinx-arccosx=$\frac{π}{6}$，則x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得arcsinx與arccosx=$\frac{π}{6}$均為銳角，x＞0，求得cos（arcsinx-arccosx） 的值，可得x的值．

解答 解：∵arcsinx∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），arccosx∈（0，π），arcsinx-arccosx=$\frac{π}{6}$，
∴arcsinx與arccosx 均為銳角，x＞0．
又 cos（arcsinx-arccosx）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即 cos（arcsinx）•cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）
=$\sqrt{{1-x}^{2}}$•x+x•$\sqrt{{1-x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{{1-x}^{2}}$•x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴x²（1-x²）=$\frac{3}{16}$，∴x²=$\frac{3}{4}$，或 x²=$\frac{1}{4}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=$\frac{1}{2}$．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=$\frac{1}{2}$ 不滿足條件，故舍去．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的定義，兩角差的余弦公公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．