Question

2．已知拋物線y²=2px，過焦點且垂直x軸的弦長為6，拋物線上的兩個動點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．
（1）求拋物線方程；
（2）試證線段AB的垂直平分線經過定點，并求此定點；
（3）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，2p=6，即可得出拋物線方程為y²=6x；
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），求出線段AB的垂直平分線的方程由此能求出直線AB的垂直平分線經過定點C（5，0）．
（3）直線AB的方程為y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），代入y²=6x，由此利用兩點間距離公式和點到直線距離公式能求出△ABC面積的表達式，利用均值定理能求出ABC面積的最大值．

解答 （1）解：由題意，2p=6，∴拋物線方程為y²=6x．…（2分）
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），
則x₀=2，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$．
線段AB的垂直平分線的方程是y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{3}$（x-2），①
由題意知x=5，y=0是①的一個解，
所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，
且點C坐標為（5，0）．
所以直線AB的垂直平分線經過定點C（5，0）．…（4分）
（2）由①知直線AB的方程為y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），①
即x=$\frac{{y}_{0}}{3}$（y-y₀）+2，②
②代入y²=6x得y²=2y₀（y-y₀）+12，即y²-2y₀y+2y₀²-12=0，③
依題意，y₁，y₂是方程③的兩個實根，且y₁≠y₂，
所以△＞0，-2$\sqrt{3}$＜y₀＜2$\sqrt{3}$．
|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$．
定點C（5，0）到線段AB的距離h=|CM|=$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$．…（8分）
（3）由（2）知S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{9+{{y}_{0}}^{2}+24-2{{y}_{0}}^{2}+9+{{y}_{0}}^{2}}{3}）^{3}}$=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，…（11分）
當且僅當$9+{{y}_{0}}^{2}$=24-2${{y}_{0}}^{2}$，
即y₀=$±\sqrt{5}$
所以，△ABC面積的最大值為$\frac{14\sqrt{7}}{3}$．…（13分）

點評 本題考查直線的垂直平分線經過定點的證明，考查三角形面積的表達式的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．