Question

5．雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線l過(guò)F₂且與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若l的傾斜角為$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)b=$\sqrt{3}$，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)，由△F₁AB是等邊三角形，可得tan∠AF₁F₂=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{^{2}}{2\sqrt{1{+b}^{2}}}$，從而求得b值，則雙曲線的漸近線方程可求；
（2）寫出直線l的方程y-0=k（x-2），即y=kx-2k，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式列式求得k值．

解答 解：（1）若l的傾斜角為$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等邊三角形，
把x=c=$\sqrt{{1+b}^{2}}$代入雙曲線的方程可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b²，
由tan∠AF₁F₂=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{^{2}}{2\sqrt{1{+b}^{2}}}$，求得b²=2，b=$\sqrt{2}$，
故雙曲線的漸近線方程為y=±bx=±$\sqrt{2}$x，
即雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．
（2）設(shè)b=$\sqrt{3}$，則雙曲線為 x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F(xiàn)₂（2，0），
若l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y-0=k（x-2），即y=kx-2k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
由直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則3-k²≠0，即k$≠±\sqrt{3}$．
△=36（1+k²）＞0．
x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x₁•x₂=$\frac{{4k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$．
∵|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$ 
=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-3}）}^{2}-4•\frac{{4k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}}$=4，
化簡(jiǎn)可得，5k⁴+42k²-27=0，解得k²=$\frac{3}{5}$，
求得k=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴l(xiāng)的斜率為$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．