Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯?/span>在時(shí)的正負(fù)；當(dāng)，可知恒成立，從而可知，得到函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，解方程求出兩根，根據(jù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）可知且是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得韋達(dá)定理的形式；將整理為韋達(dá)定理的形式，代入可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而可證得結(jié)論.

（1）由題意得：的定義域?yàn)?/span>，

令，

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立

即： 在上單調(diào)遞減

②當(dāng)，即時(shí)

令，解得：，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即

在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

（2）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)

由（1）知且是方程的兩個(gè)不等實(shí)根

則，

設(shè)，則

則在上為減函數(shù)

則成立