Question

8．已知直線l：x-y-1=0，以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ=5．
（Ⅰ）將直線l寫成參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，α∈[0，π））的形式，并求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于點A，B（點A在第一象限）兩點，若點M的直角坐標(biāo)為（1，0），求△OMA的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l：x-y-1=0的傾斜角為$\frac{π}{4}$，能將直線l寫成參數(shù)方程，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²-$\sqrt{2}t$-4=0，求出點A縱坐標(biāo)y_A=2，由此能求出△OMA的面積

解答 解：（Ⅰ）∵直線l：x-y-1=0的傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴將直線l寫成參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρsinθ=5，
∴x²+y²-4y=5，即x²+（y-2）²=9．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=9．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，
得t²-$\sqrt{2}t$-4=0，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩根，
解得${t}_{1}=2\sqrt{2}$，${t}_{2}=-\sqrt{2}$，
又點A在第一象限，故點A對應(yīng)${t}_{1}=2\sqrt{2}$，
代入到y(tǒng)=tsin$\frac{π}{4}$，得到點A縱坐標(biāo)y_A=2，
因此△OMA的面積S_△OMA=$\frac{1}{2}$|OM|•|y_A|=$\frac{1}{2}×1×2$=1．

點評 本題考查直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的合理運用．