Question

10．極坐標系中，已知曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$）．
（1）求C₁與C₂交點的直角坐標．
（2）若曲線C₃：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R，ρ≠0）分別與C₁，C₂相交于A，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，分別代入曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$）．化簡即可得到所求直角坐標方程，聯(lián)立解方程可得兩交點；
（2）聯(lián)立曲線C₃與曲線C₁，曲線C₂，求得A，B的極坐標，即可得到所求弦長|AB|．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C₁：ρ=2cosθ，即為x²+y²-2x=0；①
曲線C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$），即ρ=2（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），
即ρ²=ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ，即為x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，②
聯(lián)立①②解得交點為（0，0），（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R，ρ≠0）}\end{array}\right.$，
得A（-1，$\frac{2π}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R，ρ≠0）}\\{ρ=2cos（θ-\frac{π}{3}）}\end{array}\right.$，
得B（1，$\frac{2π}{3}$），
則|AB|=|1-（-1）|=2．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查兩圓的交點和直線與兩圓的交點的距離，考查運算能力，屬于基礎題．