Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}中．若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），則稱數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列“．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列“，若a₁=1，a₂=-2，試寫出該數(shù)列的前6項，
（2）在“凸數(shù)列“{a_n}中，求證：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）設(shè)a₁=a，a₂=b．若數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列“，求數(shù)列前2016項和，并求S_n．

Answer 1

分析 （1）依題意分別求得a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，則S₆可得．
（2）把a(bǔ)_n+1=a_n+a_n+2和a_n+2=a_n+1+a_n+3兩式相加求得a_n+3=-a_n．
（3）由（2）中的結(jié)論可得a_n+6=a_n．進(jìn)而可知數(shù)列為以6為周期的數(shù)列，進(jìn)而看2016是6的多少倍數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，
（2）由條件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}={a}_{n}+{a}_{n+2}}\\{{a}_{n+2}={a}_{n+1}+{a}_{n+3}}\end{array}\right.$，
∴a_n+3=-a_n．
（3）由（2）的結(jié)論，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．
a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，6．
∴S₂₀₁₆=S_336×6=0

點評 本題主要考查了數(shù)列的求和．解題的關(guān)鍵是充分利用好題設(shè)中的遞推式或者變形來解決問題．