Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，a₁=2，求a_n．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，從而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，從而利用累加法求和即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
利用累加法可得，
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與構(gòu)造法的應(yīng)用．