Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求證：平面A₁BC⊥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABC可得AA₁⊥CD，由等腰三角形ABC可得AB⊥CD，故CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）連結(jié)AC₁，BC₁，設(shè)BC₁∩B₁C=E，則由中位線定理得出DE∥AC₁，故而AC₁∥平面CDB₁；
（3）可證明DE的平行線AC₁⊥平面A₁BC，得到DE⊥平面平面A₁BC，從而得出平面A₁BC⊥平面CDB₁．

解答 證明：（1）∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面平面A₁ABB₁，AB?平面A₁ABB₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（2）連結(jié)AC₁，BC₁，設(shè)BC₁∩B₁C=E，
∵四邊形BB₁C₁C是平行四邊形，
∴E是BC₁的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，∵DE?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AC⊥BC，AC?平面AA₁C₁C，AA₁?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，∵AC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥AC₁，
∵AA₁C₁C是矩形，∴AC₁⊥A₁C，
又A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，又AC₁∥DE，
∴DE⊥平面A₁BC，∵DE?平面B₁DC，
∴平面A₁BC⊥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直，面面垂直的判定，構(gòu)造平行線DE是證明本題的關(guān)鍵．