Question

4．已知正項等比數(shù)列{a_n}中，2a₁+a₂=a₃，3a₆=8a₁a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n-nlog₂3，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），利用已知條件建立方程組，進而計算可得結論；
（Ⅱ）通過（I）可知${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$，進而利用分組求和法計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）設正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
由2a₁+a₂=a₃得$2{a_1}+{a_1}q={a_1}{q^2}$，
故q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去）．…（2分）
由3a₆=8a₁a₃得$3{a_1}{q^5}=8a_1^2{q^2}$，故a₁=3． …（4分）
于是數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=3×{2^{n-1}}$．…（6分）
（Ⅱ）由于${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$…（8分）
故b_n=（log₂3+0）+（log₂3+1）+（log₂3+2）…+（log₂3+n-1）-nlog₂3
=$1+2+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$． …（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．