Question

14．在△ABC中，角A、B、C與邊a，b，c滿足asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a．
（1）求$\frac{a}$的值；
（2）若c=2，且△ABC面積為2$\sqrt{2}$，求邊長(zhǎng)a．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中邊轉(zhuǎn)換為角的正弦，化簡(jiǎn)整理即可求得答案．
（2）利用三角形的面積公式，求出sinB，再求出cosA，再根據(jù)余弦定理，得到關(guān)于a的方程，解得即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，
∴sin²AsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$
（2）∵c=2，且△ABC面積為2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{a}$，
∴sinA=$\frac{2}{a}$，
∴cosA=$\sqrt{1-\frac{4}{{a}^{2}}}$，
由余弦定理有a²=c²+b²-2bccosA=4+2a²-4$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4}$
∴4$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4}$=a²+4，
∴（a²-12）²=0，
∴a²=12，
∴a=2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理余弦定理三角形的面積的應(yīng)用，以及方程的解法，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．