Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=S_n+2n+2（n∈N^*），
（1）當(dāng)n∈N^*且n≥2時，數(shù)列{a_n+2}是否是等比數(shù)列？給出你的結(jié)論并加以證明； 
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）n≥2時，a_n+1=S_n+2n+2，a_n=S_n-1+2n+2，兩式相減可得：a_n+1+2=2（a_n+2），即可得出結(jié)論．
（2）a₂=5，故n≥2時，${a_n}+2=7•{2^{n-2}}$，即${a_n}=7•{2^{n-2}}-2$，a₁=1不滿足上式，即可得出．

解答 解：（1）n≥2時，a_n+1=S_n+2n+2，a_n=S_n-1+2n+2，
兩式相減得：a_n+1-a_n=a_n+2，即a_n+1+2=2（a_n+2），
故當(dāng)n∈N^*且n≥2時，數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．
（2）a₂=5，故n≥2時，${a_n}+2=7•{2^{n-2}}$，即${a_n}=7•{2^{n-2}}-2$，a₁=1不滿足上式，
故${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 7•{2^{n-2}}-2，n≥2\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義與通項公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．