Question

7．棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點，則點D₁到直線AE的距離是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，連接D₁F，證明AC⊥平面DD₁F，然后求解D₁F即可．

解答 解：在底面ABCD上，作DF⊥AE于F，連接D₁F，
因為幾何體是正方體，所以DD₁⊥平面ABCD，可知DD₁⊥AE，又DD1∩DF=D，可得：AC⊥平面DD₁F，
所以D₁F⊥AE，D₁F就是點D₁到直線AE的距離．
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，AD₁=2$\sqrt{2}$，
E是棱BC的中點，AE=$\sqrt{5}$，
sin∠DAE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DF=ADsin∠DAE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在△DD₁F中，D₁F=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{16}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間點、線、面距離的求法，考查計算能力．