Question

6．某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制．各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見表．規(guī)定：A、B、C三級為合格等級，D為不合格等級．

百分制	85以及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等級	A	B	C	D

為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示．
（I）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（Ⅱ）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；
（Ⅲ）在選取的樣本中，從A、C兩個(gè)等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，先求出樣本容量，由此能求出n和頻率分布直方圖中的x，y的值．
（Ⅱ）成績是合格等級人數(shù)為45人，從而得到從該校學(xué)生中任選1人，成績是合格等級的概率為$\frac{9}{10}$，由此能求出至少有1人成績是合格等級的概率．
（Ⅲ）由題意知C等級的學(xué)生人數(shù)為9人，A等級的人數(shù)為3人，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，樣本容量n=$\frac{6}{0.012×10}=50$，
x=$\frac{2}{50×10}$=0.004，y=$\frac{1-0.04-0.1-0.12-0.56}{10}$=0.018，
（Ⅱ）成績是合格等級人數(shù)為：（1-0.1）×50=45人，
抽取的50人中成績是合格等級的頻率為$\frac{9}{10}$，
故從該校學(xué)生中任選1人，成績是合格等級的概率為$\frac{9}{10}$，
設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是合格等級的事件為A，
則P（A）=1-${C}_{3}^{0}（1-\frac{9}{10}）^{3}$=$\frac{999}{1000}$．
（Ⅲ）由題意知C等級的學(xué)生人數(shù)為0.18×50=9人，
A等級的人數(shù)為3人，故ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

Eξ=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}+2×\frac{27}{55}+3×\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．