Question

18．如圖AB是⊙O的一條弦，過點A作圓的切線l，過點B作BC⊥l，垂足是C，BC與⊙O交于點D，已知$AC=2\sqrt{3}$，CD=2．
（Ⅰ）求⊙O的面積；
（Ⅱ）連結(jié)OD，交AB于點E，證明：點E為AB中點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中點為F，連結(jié)OF，則OF∥AC，OF=AC，因為AC為圓O的切線，BC為割線，利用割線定理，求出BC，在Rt△OBF中求解半徑r，即可得到圓的面積．
（Ⅱ）證明OADB為平行四邊形，那么對角線相互平分，即可得到點E為AB中點．

解答 解：（Ⅰ）取BD中點為F，連結(jié)OF，則OF∥AC，OF=AC，
因為AC為圓O的切線，BC為割線，
所以CA²=CD•CB，由$AC=2\sqrt{3}，CD=2$，
所以BC=6，BD=4，BF=2
在Rt△OBF中，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$，
所以⊙O的面積是16π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA∥BD，OA=BD，連結(jié)AD，
則四邊形OADB為平行四邊形，
所以O(shè)D與AB交于點E，所以點E為AB中點．

點評 本題考查了圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，割線定理的運用．屬于基礎(chǔ)題．