Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且二者相交于點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）求證： ；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）題設(shè)條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)距離

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，可得方程為；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為： ，由得，根據(jù)韋達(dá)定理，可得， ，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得兩切線(xiàn)的方程，兩方程聯(lián)立可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積公式化簡(jiǎn)可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由已知，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上方，條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)距離

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)故其方程為.

（Ⅱ）證：設(shè)直線(xiàn)的方程為：

由得：

設(shè)， ，則，

由得： ，∴

∴直線(xiàn)的方程為： ①

直線(xiàn)的方程為： ②

①-②得： ，即

將代入①得：

∴故

∴，

∴