Question

3．設(shè)f₀（x）=cosx，${f_1}（x）=f_0^/（x）$，${f_2}（x）=f_1^/（x）$，…，${f_{n+1}}（x）=f_n^/（x）$（n∈N），則f₂₀₁₆（x）=cosx．

Answer 1

分析 求出f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx…從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)，由此能求出f₂₀₁₆（x）的值

解答 解：∵設(shè)f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N），
∴∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₂₀₁₆（x）=f_4×504（x）=f₀（x）=cosx，
故答案為：cosx

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．