Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），則u=2a+b的最小值為3-2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，由a＜b＜1且f（a）=f（b），可求得（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，0＜b＜1，利用直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出f（x）的圖象如圖，由圖可知，f（x）的對(duì)稱軸為：x=1．
∵a＜b＜1且f（a）=f（b）
∴a＜-1，-1＜b＜1，
則|a²-2a-3|=|b²-2b-3|，
即a²-2a-3=-（b²-2b-3），
則（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，-1＜b＜1，
則（a，b）的軌跡是圓上的一個(gè)部分，（黑色部分），
由u=2a+b得b=-2a+u，
平移b=-2a+u，當(dāng)直線b=-2a+u和圓在第三象限相切時(shí)，截距最小，此時(shí)u最小，
此時(shí)圓心（1，1）到直線2a+b-u=0的距離d=$\frac{|2+1-u|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|u-3|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{2}$，
即|u-3|=2$\sqrt{10}$，
得u=3-2$\sqrt{10}$或u=3+2$\sqrt{10}$（舍），

故答案為：3-2$\sqrt{10}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，作出函數(shù)f（x）結(jié)合已知求得（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，0＜b＜1，利用線性規(guī)劃以及直線和圓相切的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．滲透化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．