Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-|2x-2|，且f（x）的最大值記為k．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）是否存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足a+2b=k，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=4-$\frac{1}{ab}$？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式組的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a+2b=1，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥x，
即為|2x-1|-|2x-2|-x≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x+2x-2-x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{2x-1+2x-2-x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-1-2x+2-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≤-1或x∈∅或x=1，
綜上，不等式的解集是{x|x≤-1或x=1}；
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|-|2x-2|≤|2x-1-2x+2|=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x≥1時(shí)取“=”，
故k=1，
假設(shè)存在符合條件的正數(shù)a，b，則a+2b=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{a+2b}{ab}$=2（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=8+$\frac{8b}{a}$+$\frac{2a}$≥8+2$\sqrt{\frac{8b}{a}•\frac{2a}}$=16，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時(shí)取“=”號(hào)，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$的最小值是16，
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥16-$\frac{1}{ab}$＞4-$\frac{1}{ab}$，
∴不存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足a+2b=k，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=4-$\frac{1}{ab}$同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．