Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2a_n=S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{${\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}}\right.$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）利用裂項(xiàng)求和即可求出答案．

解答 解：（1）由2a_n=S_n+2得，2a_n-1=S_n-1+2（n≥2），
兩式相減得a_n=2a_n-1（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，
則${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）知，b_n=n，
所以$\frac{1}{bnbn+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
則數(shù)列{$\frac{1}{bnbn+2}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．