Question

17．若曲線y=e^2x在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為k，則直線y=kx與曲線y=x²所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意求出斜率，確定被積函數(shù)與被積區(qū)間，求出原函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答 解：y=e^2x在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為k，
∴y′=2e^2x，
∴y′|_x=0=2=k，
∴y=2x，
聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴直線y=kx與曲線y=x²所圍成的封閉圖形的面積為${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx=（x²-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{0}^{2}$=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，確定被積區(qū)間及被積函數(shù)，利用定積分表示面積，屬于中檔題．