Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x≤0}\\{|{{{log}_3}x}|，x＞0}\end{array}}$，若方程f（x）-a=0的四個(gè)根分別為x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則$\frac{1}{{{x_3}（{{x_1}+{x_2}}）}}$+$x_3^2{x_4}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$）
• B． （-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$）
• C． [-1，$\frac{7}{3}}$）
• D． （-1，$\frac{7}{3}}$）

Answer 1

分析 通過(guò)作出函數(shù)圖象可知x₁=x₂=-2、x₃x₄=1，利用圖象可知$\frac{1}{3}$≤x₃＜1，通過(guò)函數(shù)y=$\frac{1}{-2x}$+x在[$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞增，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：作函數(shù)圖象如右圖，
∵方程f（x）-a=0的四個(gè)根分別為x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂關(guān)于x=-1對(duì)稱(chēng)，且0＜x₃＜1＜x₄，
則-log₃x₃=log₃x₄，即log₃（x₃x₄）=0，即x₃x₄=1，
又∵方程f（x）-a=0有四個(gè)根，
∴C、D兩點(diǎn)必位于直線y=0與y=1之間（可以在y=1上，但不能位于y=0上），
當(dāng)|log₃x|=1時(shí)，可知x=3或$\frac{1}{3}$，故$\frac{1}{3}$≤x₃＜1，1＜x₄≤3，
∴$\frac{1}{{{x_3}（{{x_1}+{x_2}}）}}$+$x_3^2{x_4}$=$\frac{1}{-2{x}_{3}}$+x₃，
令y=$\frac{1}{-2x}$+x，$\frac{1}{3}$≤x＜1，則y′=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
即函數(shù)y=$\frac{1}{-2x}$+x在[$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{1}{-2•\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$≤y＜$\frac{1}{-2•1}$+1，即-$\frac{7}{6}$≤y＜$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．