Question

7．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），$\overrightarrow{p}$=（b-2，a-2）．
（Ⅰ） 若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求證：△ABC為等腰三角形；
（Ⅱ） 已知c=2，C=$\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）給出兩向量平行，再利用正弦定理，就可得到兩邊相等，即可得到是等腰三角形；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，再利用余弦定理可求ab的值，結(jié)合C的值，即可求出△ABC的面積S．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）證明：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），
∴asinA=bsinB，…3分
由正弦定理可得：a²=b²，即a=b，
∴△ABC為等腰三角形…5分
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，可得：a+b=ab①，…7分
又∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得：a²+b²-ab=4，…9分
∴（a+b）²-3ab=4，把①代入可得：（ab）²-3ab-4=0，解得：ab=4，或-1．（舍去），
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了判斷或證明三角形的形狀，一般利用正弦定理或者余弦定理進(jìn)行判斷，考查了求三角形的面積，一般利用兩邊夾一角的方式來求，求出相鄰兩邊的乘積和這兩邊夾角的正弦函數(shù)值，在利用面積公式即可求出三角形的面積，屬于中檔題．